Polinomios generadores de números primos, los números afortunados de Euler y el 163

Polinomios generadores de números primos, los números afortunados de Euler y el 163:
El polinomio es bien conocido como generador de números primos. Bueno, genera unos cuantos, no nos vayamos a emocionar. Como decía, se sabe que este polinomio genera números primos distintos para valores de desde 0 a 39, como ya vimos aquí hace ya bastante tiempo. Este hecho parece ser que era conocido ya por Euler, y la lista de esos números primos es la siguiente:

Para el resultado es 1681, que no es primo ya que .
Cierto es que mediante interpolación podemos construir un polinomio que genere los números primos que queramos a partir de los valores que elijamos (por ejemplo, un polinomio que dé unos ciertos números primos concretos para desde 0 a 1000), pero posiblemente el grado del mismo nos quede enorme y con unos coeficientes tremendos. Lo interesante del polinomio de Euler es su bajo grado, 2, y sus sencillos coeficientes.
Y aquí la pregunta es obligada: ¿qué otros polinomios de expresión sencilla generan una aceptable cantidad de números primos?



Pues sí, hay más. Uno de ellos, por ejemplo, es , que es prácticamente igual al anterior…y que en realidad no aporta mucho al asunto. Da primos para de 0 a 40 (es decir, uno más que el anterior), pero de 1 a 40 salen los mismos que en el caso anterior y el que da de más es repetido. Concretamente es el 41, que aparece para igual a 0 y a 1.
Bien, vamos a ver si encontramos otro un poco más elaborado en lo que se refiere al listado de primo que proporciona al calcular su valor en una cierta cantidad de números naturales.
El otro día podía verse este tweet en @AlgebraFact:

x^2 – 2999x + 2248541 produces 80 primes from x = 1460 to 1539.
— Algebra Fact (@AlgebraFact) agosto 6, 2012

Vaya, 80 primos, eso es un gran avance…pues no, en realidad no lo es. ¿Por qué no, si da el doble que los anteriores? Porque los primos que da para de 1460 a 1539 son los mismos que da para de 0 a 39. ¿Y por qué son 80 entonces? Porque salen repetidos. En concreto aparece esa lista de primos en orden descendiente

y después se repite la lista en orden ascendente. ¿Por qué ocurre esto? Muy sencillo, este polinomio se consigue apartir del polinomio de Euler mediante la transformación . Vamos, que esencialmente no aporta nada al que ya teníamos.
Lo mismo ocurre con , que da el mismo listado que el anterior al derivar del primero, el de Euler, y que se consigue a partir de él mediante la transformación .
Bueno, después de todo esto seguro que muchos os preguntáis si existen polinomios que aporten realmente algo a esto de generar números primos. Pues la respuesta es sí. Os pongo algunos ejemplos:

• , que da 11 primos distintos para desde 0 hasta 10.
• , igual que el anterio.
• , que da 29 primos distintos para desde 0 hasta 28.
• , que da 45 primos distintos para desde 0 hasta 44.

Y unos cuantos más, como podéis ver en este cuadro sacado de Prime-Generating Polynomial:

¿Habrá más? Sí, evidentemente, mucho más complejos que estos tanto en grado como en coeficientes, o quizás no tanto. Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.
Y para finalizar una cuestión. Volvamos al polinomio de Euler, . Tiene cierto interés ver qué ocurre con dicho polinomio, en el sentido de generar primos, si cambiamos 41 por otro número. ¿Para qué números tendremos un polinomio parecido? Concretamente buscamos los números enteros positivos tales que genera primos desde hasta . Bien, pues se sabe que eso solamente ocurre con 6 números enteros, que son los siguientes:

que se denominan números afortunados de Euler (Euler’s lucky numbers). ¿Por qué esos exactamente? Pues, sin entrar en detalles, se sabe que unos ciertos números, los llamados números de Heegner, son los únicos números enteros positivos que cumplen que
[MODE MATEMÁTICAS ON]

no son cuadrados perfectos y que el anillo de enteros del cuerpo es de factorización única.

[MODE MATEMÁTICAS OFF]
Los números de Heegner son los siguientes:

Por otro lado se sabe que los números afortunados de Euler son los enteros positivos para los que , siendo un número de Heegner. Mediante una sencilla comprobación vemos que los únicos posibles son los comentados anteriormente:

y que el número de Heegner asociado al 41 es el 163…
…163, interesante número. ¿Que no? Echadle un ojo al punto 2 de este post que escribí hace ya un tiempo…

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